Question

Медиана CM и биссектриса BK прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при. вершине C пересекаются в точке F. Найдите FK, если ∠BFM = 90 градусов , а AK =10.

Answer 1

Треугольник $CMB$ - равнобедренный , так как $BF$ биссектриса треугольника $BMC$ и она  же является высотой 
если  $BC=b\ AB=2b$ ; $MB=b$ . 
По свойству биссектрисы 
$frac{AK}{CK}=frac{2b}{b}\ CK=5\ 15^2+b^2=4b^2 \ b=5sqrt{3}$ 
то есть стороны равны $5sqrt{3};10sqrt{3}$    
угол $ABC=60а\ KBC=30а$ 
$CF$ - высота прямоугольного треугольника    $KBC$,по свойству высоты в прямоугольном треугольнике , получаем 
$CF^2=KF*BF\ CF=5sqrt{3}*sinfrac{pi}{6}=frac{5sqrt{3}}{2}\ BF=5*sqrt{3}*cosfrac{pi}{6}=frac{15}{2}\ KF= frac{5}{2}$