Question

2cos^2(4x)- 6cos^2(2x)+1=0

Answer 1

Ответ:

x = ± π/6 + πm/2,   m∈Z

Объяснение:

2cos²4x - 6cos²2x + 1 = 0

2(2cos²2x - 1)² - 6cos²2x + 1 = 0

2(4cos⁴2x - 4cos²2x + 1) - 6cos²2x + 1 = 0

8cos⁴2x - 8cos²2x + 2 - 6cos²2x + 1 = 0

8cos⁴2x - 14cos²2x + 3 = 0

cos²2x = t

8t² - 14t + 3 = 0

D/4 = 7² - 24 = 49 - 24 = 25

$t_1=dfrac{7+5}{8}=dfrac{3}{2}$

$t_2=dfrac{7-5}{8}=dfrac{1}{4}$

cos²2x = 3/2 - нет корней

или

cos²2x = 1/4

cos2x = ± 1/2

cos2x = 1/2                        cos2x = - 1/2

2x = ± π/3 + 2πn, n∈Z       2x = ± 2π/3 + 2πk, k∈Z

Корни можно объединить:

2x = ± π/3 + πm

x = ± π/6 + πm/2,   m∈Z

Answer 2

Ответ:

$pmfrac{pi }{6} +frac{pi n}{2} ,~ninmathbb {Z}.$

Объяснение:

$2cos^{2} 4x-6cos^{2} 2x+1 =0;\2cos^{2} 4x-6 * frac{1+cos4x}{2} +1=0;\2cos^{2} 4x-3*( 1+cos4x)+1=0;\2cos^{2} 4x-3-3cos4x+1=0;\2cos^{2} 4x- 3cos 4x -2=0 .$

Пусть $cos4x=t , |t| leq 1.$Тогда уравнение принимает вид;

$2t^{2} -3t-2=0;\D=(-3)^{2} -4*2*(-2) = 9+16=25>0;\left [ begin{array}{lcl} {{t=2,} \ {t =-frac{1}{2}. }} end{array} right.$

Условию $|t|leq 1$   удовлетворяет $t=-frac{1}{2} .$

Значит

$cos4x=-frac{1}{2} ;\\4x =pm frac{2pi }{3} +2pi n,~ninmathbb {Z}|:4;\\x=pmfrac{pi }{6} +frac{pi n}{2} ,~ninmathbb {Z}.$