Question

Для kaждoгo пapaмeтpa а peшитe oтнoсительнo х ypaвнeния:
 а) | x|= а
б)  | x | >a
в) |x|<a
г) |a|=|x|
д) $sqrt{x^2-2x+1} + sqrt{x^2-6x+9} leq a$

Answer 1

а) Если a > 0, то x = +-a; если a = 0, x = 0; если a < 0, решений нет.

б) Если a > 0, то x < -a или x > a; если a = 0, то x ∈ R {0}; если a < 0, x ∈ R

в) Если a > 0, то -a < x < a; иначе решений нет.

г) Если a = 0, то x = 0; иначе x = +-a

д) |x - 1| + |x - 3| <= a
Если a < 0, корней нет (сумма двух модулей неотрицательна)
Если 0 <= a < 2, корней нет (геом. смысл модуля - расстояние до точки. |x - 1| + |x - 3| - это сумма расстояний до точек 1 и 3. Очевидно, эта сумма принимает своё наименьшее значение, равное двум, если x лежит между точками 1 и 3)
Если a = 2: 1 <= x <= 3 (см. предыдущее объяснение)

Пусть a > 2. Тогда (опять вспоминаем размышления о геом. смысле модуля) решение - все точки внутри отрезка [1, 3] + все точки, которые лежат вне отрезка, расстояние от которых до ближайшей из точек x = 1, x = 3 не превосходит (a - 2)/2. Ответ на этот случай [1 - (a - 2)/2, 3 + (a - 2)/2]
Ответ. Если a < 2, решений нет. Если a >= 2, x ∈ [2 - a/2, 2 + a/2]