Question

Дайте, пожалуйста, подробное доказательство...

Условие: "Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м2 (больше одного квадратного метра)?"

Ответ: Да

Но как доказать???

Answer 1

Положим  что стороны треугольника равны $a,b,c$ , и высоты соответственно опущенные на  них   $h_{1};h_{2};h_{3}$
По условию $h_{1}<0.01\ h_{2}<0.01\ h_{3}<0.01$
$S=frac{ah_{1}}{2}>1\ S=frac{bh_{2}}{2}>1\ S=frac{ch_{3}}{2}>1\ ah_{1}>2\ bh_{2}>2\ ch_{3}>2$ 

Учитывая при этом неравенство треугольников 
$a+b>c\ a+c>b\ b+c>a$

Приходим к неравенству      
$x>frac{2}{a}\ x<0.01$    
$y>frac{2}{b}\ y<0.01$ 
$z>frac{2}{c}\ z<0.01$
Откуда получим решения 
$a>400\b>a+200\b-a<c<a+b\frac{2}{a}<x<frac{1}{100}\frac{2}{b}<y<frac{1}{100}\frac{2}{z}<z<frac{1}{100}$
 Это значит что такой треугольник есть 
 
  Можно конечно через какие то геометрические соображения решить