Question

Точка А, симметричная точке B(6;2) относительно прямой у=х+1, какие координаты имеет точка А?

Answer 1

Точка А, симметричная точке В относительно прямой  у=х+1, лежит на перпендикуляре, опущенном из точки В на прямую  у=х+1 на расстоянии, равном расстоянию от точки B  до прямой  у=х+1.
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки В: $y-y_0=k(x-x_0)$ .
Угловой коэффициент k=-1, так как угловой коэффициент прямой  у=х+1 равен
 $k_1=1$ . (Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением  $k_1=-frac{1}{k_2}$ )

    $y-2=-1cdot (x-6)\\y=-x+8$

Точка C - точка пересечения перпендикулярных прямых.Её координаты найдём из системы:

 $left { {{y=x+1} atop {y=-x+8}} right.$ .

$x+1=-x+8\\2x=7,; ; x=frac{7}{2},; y=frac{7}{2}+1=frac{9}{2}; Rightarrow ; ; C(frac{7}{2},frac{9}{2})$

Точка С является серединой отрезка АВ.Её координаты находятся по формуле

$x_{C}=frac{x_{A}+x_{B}}{2},y_{C}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}\\x_{A}=2x_{C}-x_{B}=7-6=1\\y_{A}=2y_{C}-y_{B}=9-2=7\\A(1,7)$