Question

Докажите, что выражение 9x2+8y-6xy+y2+18-24x принимает положительные значения при любых значениях переменных x и y.
Я применил группировку 9x2+8y-6xy+y2+18-24x=9x2-6xy+y2+8y-24x+18=(3x-y)2+8(y-3x)+18 ... Получился квадратный многочлен со смешанной переменной (3x-y).
Можно было бы заменить (3x-y) на t и решить уравнение через дискриминант или построить параболу, но НУЖНО аналитически показать, что выражение положительно при всех значениях x и y (для ученика 7-го класса эти темы еще не доступны).
Помогите, пожалуйста, решить.
Вид многочлена из учебника - во вложении.

Answer 1

Для начала приравнять к какой-нибудь величине, например А
Нужно сгруппировать 9х2   -6ху   и   у2

9х2 - 6ху + у2 = (3х - у) ^2 (скобка в квадрате)

В результате получится

(3х - у) ^2 + 8у + 18 - 24х = А

(3х - у) ^2 = А - 8у - 18 + 24х

(3х - у) ^2 = А - (8у + 18 - 24х)

Левая часть уравнения при любых обстоятельствах есть величина положительная, т.к. степень 2 (любая степень с четным значением), следовательно правая часть тоже будет величина положительная