Question

Доказать. что многочлен х8+х6-4х4+х2+1 не принимает отрицательных значений( -х4+х2+1 = можно взять отдельно, так как х8 и х6 всегда положительные)
PS: ( ^ )- без вот этого!! 

Answer 1

$(x^4-1)^2 geq 0; ,x^2(x^2-1)^2 geq 0=> \ x^8+x^6-4x^4+x^2+1 geq 0 %для любого x.$

Вследствие свойств квадратов числа, для любого x верны неравенства:

$x^8+x^6-4x^4+x^2+1= \ =x^8+x^6-2x^4-2x^4+x^2+1= \ =(x^8-2x^4+1)+ (x^6-2x^4+x^2)= \ = (x^4-1)^2+x^2(x^4-2x^2+1)= \ = (x^4-1)^2+x^2(x^2-1)^2$

Вследствие свойств квадратов числа, для любого x верны неравенства:

[tex](x^4-1)^2 geq 0; ,x^2(x^2-1)^2 geq 0=> \ x^8+x^6-4x^4+x^2+1 geq 0 %для любого x." />