Question

Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите что и третья биссектриса проходит через точку О.

Answer 1

АА₁ и ВВ₁ - биссектрисы треугольника АВС, пересекаются в точке О.

Проведем перпендикуляры из точки О к сторонам треугольника.
Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.
Так как АА₁ - биссектриса и точка О лежит на ней, ОК = ОН;
так как ВВ₁ биссектриса и точка О лежит на ней, ОК = ОМ, но тогда и ОН = ОМ.
Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе, т.е. точка О лежит на биссектрисе угла С.
Что и требовалось доказать.