Question

Решить систему уравнений методом Крамера:

   Х - 2у - 3z = -4

  4х + у + 2у = 13

  2х + 5у + z = -7

Answer 1

Найдем определитель матрицы:

$A=left[begin{array}{ccc}1&-2&-3\4&1&2\2&5&1end{array}right]$

$det(A)=sum_{j=1}^{n}a_i_jA_i_j$

где $A_i_j$

соответствующее алгебраическое дополнение

$A_i_j=(-1)^{i+j}M_i_j$

$M_i_j$ - минор матрицы А(получается удалением соответствующего столбца и строки)

$det(A)=1*left|begin{array}{ccc}1&2\5&1end{array}right|-(-2)*left|begin{array}{ccc}4&2\2&1end{array}right|-3*left|begin{array}{ccc}4&1\2&5end{array}right|=1*(1*1-2*5)+2*(4*1-2*2)-3*(4*5-1*2)=-63$

Построим матрицу $A_1$,такую,что первый столбец будет заменен на столбец из свободных членов.

$A_1=left[begin{array}{ccc}-4&-2&-3\13&1&2\-7&5&1end{array}right]$

$det(A_1)=-4*left|begin{array}{ccc}1&2\5&1end{array}right|-(-2)*left|begin{array}{ccc}13&-7\2&1end{array}right-3*left|begin{array}{ccc}13&-7\1&5end{array}right|=-4*(1*1-2*5)+2*(13*1-(-7)*2)-3(13*5-(-7)*1)=-126$

Построим матрицу $A_2$,такую,что второй столбец будет заменен на столбец из свободных членов.

$A_2=left[begin{array}{ccc}1&-4&-3\4&13&2\2&-7&1end{array}right]$

$det(A_2)=1*left|begin{array}{ccc}13&2\-7&1end{array}right|-(-4)*left|begin{array}{ccc}4&2\2&1end{array}right|-3*left|begin{array}{ccc}4&13\2&-7end{array}right|=1*(13*1-(-7)*2)+4*(4*1-2*2)-3*(4*(-7)-13*2)=189$

Построим матрицу $A_3$,такую,что третий столбец будет заменен на столбец из свободных членов.

$A_3=left[begin{array}{ccc}1&-2&-4\4&1&13\2&5&-7end{array}right]$

$det(A_3)=1*left|begin{array}{ccc}1&13\5&-7end{array}right|-(-2)*left|begin{array}{ccc}4&13\2&-7end{array}right|-4*left|begin{array}{ccc}4&1\2&5end{array}right|=1*(1*(-7)-13*5)+2*(4*(-7)-13*2)-4*(4*5-1*2)=-252$

Согласну методу Крамера:

$x=frac{det(A_1)}{det(A)};y=frac{det(A_2)}{det(A)};z=frac{det(A_3)}{det(A)}$

$x=frac{-126}{-63}=2;y=frac{189}{-63}=-3;z=frac{-252}{-63}=4$