Question

Найдите целые решения уравнений:

х^2-ху+у^2=7
х^2+2ху+2у^2=5

(система)

Answer 1

$left { {{x^2-xy+y^2=7} atop {x^2+2xy+2y^2=5}} right$

Сложим первое уравнение,домноженное на 2 со вторым:

$3x^2+4y^2=19$

Очевидно,что x и y не обращаются в ноль,так как число 19 простое и не имеет делителей на интервале (1;19)

Значит:

$left { {{3x^2=19-4y^2<19} atop {4y^2=19-3x^2<19}} right$

$left { {{x^2=<6frac{1}{3}} atop {y^2<4frac{3}{4}}} right$

$left { {{|x| in [1;2]} atop {|y| in [1;2]}} right$

Из полученных отрезков лишь пара значений модулей удовлетворяет нашему уравнению:

$(|x|;|y|)=(1;2)$

Осталось лишь раскрыть модуль,сделаем это следующим образом:

Рассмотрим полиномы вида:

$left { {{F_1(x,y)=x^2-xy+y^2-7} atop {F_2(x,y)=x^2+2xy+2y^2-5}} right$

Подставим модули корней $x_0;y_0$ под степени 2,так как они являются четными и не меняют значение:

$left { {{F_1(x_0,y_0)=|1|^2-x_0y_0+|2|^2-7} atop {F_2(x_0,y_0)=|1|^2+2x_0y_0+2|2|^2-5}} right$

$left { {{F_1(x_0,y_0)=-x_0y_0-2} atop {F_2(x_0,y_0)=2x_0y_0+3}} right$

Очевидно,что для старших мономов вида $x_0y_0$ обоих полиномов для обращения последних в ноль определен отрицательный знак.Это выполнимо в случае только одного отрицательного и одного положительного переменного.

Значит возможные целочисленные значения решения исходной системы:

$(x;y) in (1;-2) cup (-1;2)$