Question

Решите логарифмическое неравенство пожалуйста

Answer 1

$log^2_2x^2-15log_22x+11 leq 0|x>0\(2log_2x)^2-15log_22-15log_2x+11 leq 0\4log^2_2x-15log_2x+11-15 leq 0\4log^2_2x-15log_2x-4 leq 0\t=log_2x\4t^2-15t-4 leq 0\D=(-15)^2-4*4*(-4)=225+64=289=17^2\t_1=(15+17)/8=32/8=4\t_2(15-17)/8=-2/8=-1/4$
$4(t-4)(t+1/4) leq 0\ tin[-1/4;4]\\log_2x geq -1/4\x geq frac{1}{ sqrt[4]{2} }\\log_2x leq 4\x leq 16\\xin[ frac{1}{ sqrt[4]{2} };16]$

Answer 2

$2log_5^2x^2+5log_525x-8geq0$
1. Рассмотрим функцию
 $y=2log_5^2x^2+5log_525x-8$
$x>0 \ D(y)=(0;+infty)$
2. Нули функции
$2log_5^2x^2+5log_525x-8=0$
Воспользуемся свойством логарифмов $log_5x^2=2log_5|x|$
$2(2log_5^2x)^2+5log_525x-8=0 \ 8log_5^2x+5log_525x-8=0$
Логарифм произведения равен сумме логарифмов
$8log_5^2x+10+5log_5x-8=0$
Сделаем замену переменных
Пусть  $log_5x=a$, тогда
$8a^2+5a+10-8=0 \ 8a^2+5a+2=0 \ D=b^2-4ac=-39$
Дискриминант отрицателен, значит уравнение корней не имеет.

(0)_______+______>

Ответ: $x in (0;+infty)$

$log_2^2x^2-15log_22x+11 leq 0$
Рассмотрим функцию
$y=log_2^2x^2-15log_22x+11$
Область определения функции $(0;+infty)$
Нули функции
$log_2^2x^2-15log_22x+11=0 \ (2log_2x)^2-15log_22x+11=0 \ 4log_2^2x-15(1+log_2x)+11=0$
Пусть $log_2x=a$, тогда получаем что
$4a^2-15(1+a)+11=0 \ 4a^2-15a-4=0$
Как обычно через дискриминант
 $D=b^2-4ac=289; sqrt{D} =17 \ a_1=- frac{1}{4} \ a_2=4$
Возвращаемся к замене

$left[begin{array}{ccc}log_2x=- frac{1}{4}\log_2x=4 end{array}rightto left[begin{array}{ccc}x_1= frac{ sqrt[4]{8} }{2}\ x_2=16 end{array}right$

Полученное решение отметим на промежутке

(0)____-____$[frac{ sqrt[4]{8} }{2}]$___+___[16]___+____>

Ответ: $[frac{ sqrt[4]{8} }{2};16]$