Question

Найти все значения параметра значения t, при котором система уравнения
$left { {{x^2+y^2=9} atop {x^2+y^2=9y*sint+3x*cos t-18sin^2t}} right.$
имеет единственное решение. найти все эти решения.

Answer 1

$left { {{x^2+y^2=9} atop {x^2+y^2=9ycdot sin t+3xcdot cos t-18sin^2t}} right.$
Не трудно заметить что это окружности.
Записав второе уравнение данной системы в виде  $(x-1.5cos t)^2+(y-4.5sin t)^2=1.5^2$, видим, что решениями системы есть координаты точек пересечений кругов с центрами $O_1(0;0)$ и $O_2(1.5cos t;4.5sin t)$ и радиусами $R_1=3$ и $R_2=1.5$ согласно. Эти круги имеют единую общую точку в таких случаях
          $O_1O_2=R_1+R_2$ (внешний ощупь)
          $O_1O_2=R_1-R_2$ (внутренний ощупь)
Поэтому для этого, чтобы найти нужные значения параметра t, достаточно решить совокупность уравнений
 $left[begin{array}{ccc}2.25cos ^2t+20.25sin^2t=20.25\2.25cos^2t+20.25sin^2t=2.25end{array}right$
Решив совокупность имеем параметр $t= frac{ pi n}{2} , n in Z$. Остается при этих значениях параметра t  решить систему уравнений.

При $t=2 pi k, k in Z:$ решение системы будет $(3;0)$
При $t= frac{ pi }{2} +2 pi k, k in Z$ решение системы: $(0;3)$
При $t=- frac{ pi }{2} +2 pi k, k in Z$ решение системы $(0;-3)$
При $t= pi +2 pi k, k in Z$, решение системы $(-3;0)$