Question

Сколько нулей после запятой (до первого отличного от нуля десятичного знака) имеет десятичная запись числа $a=10^{10^{-10}} ??$

Answer 1

Пусть десятичная запись  числа $a=10^{10^{-10}}$ имеет вид$1,00...0m...,$где $mneq 0, ,,,,,,n=00...0$ Тогда
                           
                                $1 + 10^{-n-1} < a < 1+10^{-n}$
Откуда получаем

  $lg (1+10^{-n-1})<lg a=10^{-10}<lg (1+10^-^n})$

Используем неравенства $x-0.5cdot x^2 < ln(1+x) < x$ при $0 < x < 1$ ( для доказательства их достаточно исследовать с помощью производной на промежутке (0;1) функции $f(x)=ln (1+x)-x+0.5x^2$ и $g(x)=ln (1+x)-x$

Получаем

$dfrac{10^{-n-1}-0.5cdot 10^{-2n-2}}{ln10} < lg (1+10^{-n-1}) < 10^{-10} < lg (1+10^{-n}) < dfrac{10^{-n}}{ln 10}$

Из неравенства

         $dfrac{10^{-n-1}-0.5cdot 10^{-2n-2}}{ln10} < 10^{-10} < dfrac{10^{-n}}{ln 10}$

получаем, что n=9

Ответ: 9 нулей