Question

$4^{x} ( sqrt{ 16^{1-x}-1 } +2)<4/ 4^{x} -1/$Объясните, КАК решить:

/.../ - имеется в виду, что данное выражение стоит под знаком модуля.
Главное, как работать с модулем?

P.S. в ответе должно получиться 2 - log пяти по основанию четырех < x leq 1

Answer 1

$4^x( sqrt{16^{1-x}-1}+2)=4|4^x-1|$
Отметим ОДЗ:$16^{1-x}-1 geq 0 \ x leq 1$
Воспользуемся свойством степеней
$4^x( sqrt{4^{2(1-x)}-1}+2)=4|4^x-1|$
Произведем замену переменных
 Пусть $4^x=a ,,,(a>0)$, тогда получаем

$a((16a^{-2}-1)^{ frac{1}{2} }+2)=4|a-1|$
Воспользуемся определением абсолютной величины $left { {{a>0Rightarrow |a|=a} atop {a<0Rightarrow |a|=-a}} right.$
Если $a-1 geq 0$, то
$a((16a^{-2}-1)^{ frac{1}{2} }+2)=4(a-1) \ sqrt{a^2(16a^{-2}-1)}=2a-4$
Возведем оба части до квадрата
$a^2(16 frac{1}{a^2}-1 )=(2a-4)^2 \ 16-a^2=4a^2-16a+16 \ 5a^2-16a=0 \ a(5a-16)=0 \ a_1=0,,,,, a_2= frac{16}{5}$
а=0 - не удовлетворяет условию при a-1>0
Возвращаемся к замене
$4^x= frac{16}{5} \ x=log_4 frac{16}{5} =2-log_4 5$

При a-1<0, уравнение корней не имеет.

Полученное решение отметим на промежутке


___+___(2-log_4 5)____-___[1]

Ответ: $x in (2-log_4 5;1].$