Question

$( sqrt{2+ sqrt{3} } )^x+( sqrt{2- sqrt{3} } )^x=4$

Answer 1

$( sqrt{2+ sqrt{3} } )^x+(sqrt{2- sqrt{3}})^x=4 \ \ (2+ sqrt{3} )^{ frac{1}{2} x}+(2-sqrt{3})^{ frac{1}{2} x}=4$
 
 Видим, что $sqrt{2+sqrt{3}} cdot sqrt{2-sqrt{3}}=1$, тогда $sqrt{2-sqrt{3}}= frac{1}{2+sqrt{3}}$, имеем:
$( sqrt{2+sqrt{3}})^x+( frac{1}{ sqrt{2+sqrt{3}} } )^x=4$
Пусть $( sqrt{2+sqrt{3}})^x=t$, тогда получаем
$t+ frac{1}{t} =4|cdot t \ t^2-4t+1=0 \ D=b^2-4ac=16-4=12 \ t_1_,_2=2pmsqrt{3}$

Возвращаемся к замене

$( sqrt{2+sqrt{3}})^x=2+sqrt{3} \ frac{1}{2} x=1 \ x_1=2 \ \ ( sqrt{2+sqrt{3}})^x=2-sqrt{3} \ - frac{1}{2} x=1 \ x_2=-2$

Ответ: $pm 2$