Question

помогите решить, пожалуйста.
sin2x+4(sinx+cosx)+4=0

Answer 1

$sin2x+4(sin x+cos x)+4=0 \ sin2x+4(sin x+cos x)+4(sin^2x+cos^2x)=0 \ 2sin xcos x+4(sin x+cos x)+4((sin x+cos x)^2-2sin xcos x)=0 \ 4(sin x+cos x)^2+4(sin x+cos x)-6sin xcos x=0$
 Произведем замену переменных
Пусть $sin x+cos x=t,,, (|t| leq sqrt{2})$, тогда $1+2sin xcos x=t^2 \ 2sin xcos x=t^2-1$
В итоге получаем
$4t^2+4t-3(t^2-1)=0 \ 4t^2+4t-3t^2+3=0 \ t^2+4t+3=0$
По т. Виета $left { {{t_1+t_2=-4} atop {t_1cdot t_2=3}} right. to left { {{t_1=-1} atop {t_2=-3}} right.$
Корень $x=-3$, не удовлетворяет условию при $|t| leq sqrt{2}$
Вовзращаемся к замене
$sin x+cos x=-1 \ sqrt{2}sin (x+ frac{ pi }{4} )=-1 \ sin(x+ frac{ pi }{4} )=- frac{1}{ sqrt{2} } \ x+ frac{ pi }{4} =(-1)^{k+1}cdot frac{pi}{4} +pi k, k in Z\x=(-1)^{k+1}cdot frac{pi}{4} - frac{pi}{4} +pi k, k in Z$

Ответ: $(-1)^{k+1}cdot frac{pi}{4} - frac{pi}{4} +pi k$, где $k in Z$