Question

Пусть p — нечѐтное простое число. Докажите, что для некоторой пары различных
натуральных чисел m и n имеет место равенство 2/p = 1/n + 1/m, причем такая пара чисел
единственна (с точностью до перестановки n и m).

Answer 1

 $frac{2}{p}=frac{1}{n}+frac{1}{m}\ p=frac{2nm}{n+m}$
теперь заметим что слева простое число , а справа четное , отсюда  следует что  $n=p*x\ m=y$ то есть   один из множителей содержит простое число которое слева 
 $p=frac{2*px*y}{px+y}\ 1=frac{2xy}{px+y}\ p=frac{(2x-1)y}{x}$
 так как слева простое число , и заметим что  $2x-1$ нечетное число , можно переобозначить $2x-1=u\ frac{y}{x}=v\ p=uv$ то есть одно из чисел равно $1$ и очевидно что это $frac{y}{x}=1$ ,  откуда $y=x\ n=px\ m=x$ 
следовательно это единственное решение 
$2x=1+p\ 2x-p=1\ p=2x-1$ верно,  чтд