Предмет: Алгебра, автор: 5best5

Пусть p — нечѐтное простое число. Докажите, что для некоторой пары различных
натуральных чисел m и n имеет место равенство 2/p = 1/n + 1/m, причем такая пара чисел
единственна (с точностью до перестановки n и m).

Ответы

Автор ответа: Матов
0
 frac{2}{p}=frac{1}{n}+frac{1}{m}\
p=frac{2nm}{n+m}
теперь заметим что слева простое число , а справа четное , отсюда  следует что  n=p*x\
m=y то есть   один из множителей содержит простое число которое слева 
 p=frac{2*px*y}{px+y}\
1=frac{2xy}{px+y}\
p=frac{(2x-1)y}{x}\
 так как слева простое число , и заметим что  2x-1 нечетное число , можно переобозначить 2x-1=u\
frac{y}{x}=v\
p=uv то есть одно из чисел равно 1 и очевидно что это frac{y}{x}=1 ,  откуда y=x\
n=px\
m=x 
следовательно это единственное решение 
2x=1+p\
2x-p=1\
p=2x-1 верно,  чтд 

Похожие вопросы