Question

Число N равно произведению 200 простых чисел (не обязательно различных). Если каждый множитель в этом представлении увеличить на единицу, то полученное произведение будет делиться на N . Сколько таких натуральных N существует? (Решение!)

Answer 1

 Запишем условие $N=x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{200}\ N_{1}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)(x_{3}+1)*...(x_{200}+1)$
где   $x_{1};x_{2};x_{3}...x_{200}$ - простые числа  
По условия $frac{N_{1}}{N} in C$ целое .  
Если все числа $x_{1};x_{2}...$ будут действительно различные, то из выражения 
$frac{N_{1}}{N}= (1+frac{1}{x_{1}})(1+frac{1}{x_{2}})(1+frac{1}{x_{3}})*...(1+frac{1}{x_{200}})$ с учетом того что данные числа простые, как минимум среди них  будет множитель $2^{200}$,потому что $x_{1}+1;x_{2}+1...;x_{200}+1$ уже четные числа. Запишем как  $2^{200}*(frac{a_{1}}{x_{1}})*(frac{a_{2}}{x_{2}})*(frac{a_{3}}{x_{3}})*...* (frac{a_{200}}{x_{200}})$ так как $a_{n}<x_{n}$ 
То следует что, числа в каждой дроби будут взаимно простые между собой.  
То есть не дадут целое числа в итоге, теперь рассмотрим случаи когда числа равные между собой, то есть предположим что среди них есть числа равные между собой . 
для начало положим что $N=2^a*3^b*5^c$
$a+b+c=200$ 
откуда получаем , после преобразований 
$3^{200-2b}*2^{b-2a+200}*5^{a+b-200}$ 
так как числа все простые , то есть не одно число не делится на другой без остатка , то 
 $200-2b>0\ b-2a+200>0\ a+b-200>0$
откуда с последнего  неравенства, решения будут при целых $a+b=201$ то есть все числа должны давать в сумме $201$ , но тогда $c<0$ что не противоречит условию
Теперь увеличим наше число до $4$ простых числа 
 $2^a*3^b*5^c*13^d\ a+b+c+d=200$
так же после всех преобразований получаем 
$c<0\ -2a+b+200>0\a-b+c>0\-a-b-c+200>0\a+b+c-200>0$
 но отсюда так же следует что $a+b+c>200$ что противоречит $d>0$ 
И теперь очевидно  для $n$ взятого простого числа так же будет справедлива это тождество.

Теперь рассмотрим случай $N=2^a*3^b\ N_{1}=3^a*2^{2b}\ frac{N_{1}}{N} = frac{3^a*2^{2b}}{2^a*3^b} = 3^{a-b}*2^{2b-a}\ a+b=200\ 3^{200-2b}*2^{3b-200}\ 200-2b>0\ 3b-200>0\\ b<100\ b>frac{200}{3}$
откуда   $[ frac{200}{3} ]= 66\ 100-66=33$ решения 
Ответ $33$ 

И это все является решением для 6-классника, так как использованы обычные работы со степенями и неравенствами 

Answer 2

В таком случае я ее видно тоже решил верно чуть иначе чtм матов. Но не был уверен что правильно.

Answer 3

Я так подозреваю что в связи с тем что в этих задачах не требовалось показать само решение, а только дать ответ, самим составителям было совершенно всё равно правильно ли это решение или нет, главное чтоб ответ совпал.

Answer 4

На интуитивном та уровне сразу было ясно. Вопрос стоял как это доказать

Answer 5

Если не нужно было решение, то задача в принципе и кусочка хлеба не стоит

Answer 6

Им то решение было не нужно, а мне самой хотелось понять.