Question

Докажите, что выражение 4 в степени n + 15 в степени (n-1) делится на 9

Answer 1

Представим 4 как 3+1 и разложим по формуле бинома Ньютона:
$(3+1)^{n}+15n-1=(C_{n}^{0}*3^{n}+C_{n}^{1}*3^{n-1}*1+...+C_{n}^{n-2}*3^{2}*1^{n-2}+$

$+C_{n}^{n-1}*3*1^{n-1}+C_{n}^{n}*1^{n})+15n-1=$

$=(3^{n}+C_{n}^{1}*3^{n-1}+...+C_{n}^{n-2}*3^{2}+n*3+1)+15n-1=$

$=3^{n}+C_{n}^{1}*3^{n-1}+...+C_{n}^{n-2}*3^{2}+18n$

при n=1: $4^{n}+15n-1=4+15-1=18$ - делится на 9

при n>1: $3^{n}+C_{n}^{1}*3^{n-1}+...+C_{n}^{n-2}*3^{2}+18n = 9(3^{n-2}+C_{n}^{1}*3^{n-3}+...+$

$+C_{n}^{n-2}+2n)$ - делится на 9.

Доказали, что при любом натуральном n данное выражение делится на 9.