Question

Пусть p — нечѐтное простое число. Докажите, что для некоторой пары различных
натуральных чисел m и n имеет место равенство 2/p = 1/n + 1/m, причем такая пара чисел
единственна (с точностью до перестановки n и m).

Answer 1

1/m+1/n=2/p Преобразуем: (m+n)/mn=2/p p(m+n)=2mn 2mn-pm-pn=0 4mn-2pm-2pn=0 4mn-2pm-2pn+p^2=p^2 2m*(2n-p) -p*(2n-p)=p^2 (2m-p)*(2n-p)=p^2 Поскольку p -простое,то p^2 имеет делители +-1;+-p;+-p^2 При этом числа (2m-p) и (2n-p) являются его делителями. То возможно лишь 2 варианта:(Без учета симметричной перестановки) 1) 2m-p=+-p 2n-p=+-p ,но тогда m=n ,что не удовлетворяет условию. 2) 2m-p=+-1 2n-p=+-p^2 m=(p+-1)/2 n=(+-p^2+p)/2 Поскольку n-натуральное ,то +-p^2+p>0 ,что возможно ,только если взять знак +. Таким образом : m=(p+1)/2 (верно поскольку p+1 всегда четное число) n=p*(p+1)/2 (верно аналогично m).Это решение будет единственно для любого простого числа p ,что мы только что и выяснили. Можно сделать проверку ,подставив в исходное уравнение и убедится что пара подходит.