Question

в каких случаях данные слова могут быть именами собственными, а в каких именами нарицательными лужки, городище

Answer 1

Лужки - имя собственное, если название, например, села
Лужки - имя нарицательное, если множественное число существительного "лужок" (от "луг")
Городище - имя собственное, если название, например, Чёртово Городище (горы в Свердловской области)
Городище - имя нарицательное, если речь идёт о большом городе

Answer 2

город Лужки(собств.); после дождя остались лужки(нариц.)