Question

Группа студентов, состоящая из 30 человек получила на экзамене оценки "2," "3", "4", "5". Сумма полученных оценок равна 93, причем троек было больше, чем пятерок, и меньше, чем четверок. Кроме того, число четверок делилось на 10, а число пятерок было четным. Сколько каких оценок получили студенты группы?

Answer 1

Пусть число: x - троек, у - пятерок, z - четверок, m - двоек. Всего сдавали экзамен 30 студентов. $x+y+z+m=30$, всего полученных оценок - 93, для него уравнение $2m+3x+4z+5y=93$.

Составим систему по условию:

$begin{cases}&text{}x+y+z+m=30\&text{}2m+3x+4z+5y=93\&text{}x>y\&text{}x<z\&text{}z=10n,~~ nin mathbb{N}\&text{}y=2k,~~~ nin mathbb{N}end{cases}$

Решением этой системы подходят такие натуральные значения n = k = 1 и получим z = 10 и y = 2, подставляя в систему получим

$begin{cases}&text{}x+2+10+m=30\&text{}2m+3x+4cdot 10+5cdot 2=93end{cases}~~~Rightarrow~~begin{cases}&text{}x+m=18\&text{}2m+3x=43end{cases}\ \ \ Rightarrow~~~begin{cases}&text{}x=18-m\&text{}2m+3cdot(18-m)=43end{cases}\ \ \ 2m+54-3m=43\ \ m=11\ \ x=7$

Таким образом, 11 двоек, 7 троек, 10 четверок и 2 пятерок.

P.S. для остальных натуральных значений k,n  нет других решений.