Question

Доказать, что 

 

m^3/6 + m^2/2 + m/3

 

(m в кубе, деленное на 6, плюс m в квадрате, деленное на 2, плюс m, деленное на 3)

 

является целым числом при любом целом m

Answer 1

$frac{m^3}{6} + frac{m^2}{2} +frac{m}{3}=\ frac{m}{6}(m^2+3m+2)=\frac{m}{6}(m+1)(m+2)= frac{m(m+1)(m+2)}{6}$

 

чтобы оно было нужно доказать что m(m+1)(m+3) делится нацело на 6,

так как m, m+1, m+2 - три последовательные целые числа,

то хотя бы одно из них обязательно делится на 2, и одно из них обязательно делится на 3, поэтому произведение трех последовательных целых чисел делится неацело на 6, что соотвествует требуемому в утверждении задачи. Доказано