Question

lim1-4x^2/6x^2-x-1
X->1/2
lim(корень)x- 1/2-(корень)5-x
x->1

Answer 1

первая и вторая задача

Answer 2

$1)lim_{x to { frac{1}{2} } } frac{1-4 x^{2} }{6 x^{2} -x-1}= frac{1-1}{6cdot frac{1}{4}- frac{1}{2}-1 }= frac{0}{0} =$
неопределенность, которую устраняем разложив и числитель и знаменатель на множители
1-4х²=(1-2х)(1+2х)
6х²-х-1=6(х-х₁)(х-х₂)
Найдем корни
6х²-х-1=0
D=(-1)²-4·6·(-1)=25
x₁=(1-5)/12=-1/3      или    х₂=(1+5)/12=1/2
6х²-х-1=6(х-х₁)(х-х₂)=6(х-(-1/3)) (х-(1/2))=(3х+1)(2х-1)
тогда
$lim_{x to { frac{1}{2} } } frac{1-4 x^{2} }{6 x^{2} -x-1}= lim_{x to { frac{1}{2} } } frac{(1-2x)(1+2x) }{(3x+1)(2x-1)}= lim_{x to { frac{1}{2} } } (-frac{1+2x }{3x+1})=- frac{1+1}{3cdot frac{1}{2} +1}= \ =- frac{2}{2,5}=- frac{4}{5}$
 $2) lim_{x to 1} frac{x-1}{2- sqrt{5-x} } = frac{1-1}{2- sqrt{5-1} } = frac{0}{0}$
-неопредленность, которую устраняем, избавляясь от иррациональности в знаменателе: умножаем  и числитель и знаменатель на выражение,  сопряженное (2-√5-x) :
$lim_{x to 1} frac{x-1}{2- sqrt{5-x} } = lim_{x to 1} frac{(x-1)(2+ sqrt{5-x}) }{(2-sqrt{5-x})(2+ sqrt{5-x}) } = \ \ =lim_{x to 1} frac{(x-1)(2+ sqrt{5-x}) }{2 ^{2} -(sqrt{5-x}) ^{2} } =lim_{x to 1} frac{(x-1)(2+ sqrt{5-x}) }{(4-5+x) } = \ \ ==lim_{x to 1} (2+ sqrt{5-x}) =2+ sqrt{5-1}=2+2=4$