Question

Доказать неравенство.

Answer 1

$|sin xcdot sin 2x| leq frac{4}{9} sqrt{3}$
Доказательство:
$sin xcdot sin 2x=2sin^2xcos x=2(1-cos^2x)cos x=2cosx -2cos^3x$, притом $-1 leq cos x leq 1$. Поэтому достаточно найти наибольшее и наименьшее значение функции.$f(x)=2cos x-2cos^3x$
Пусть $cos x = t$
$f(t)=2t-2t^3$ на отрезке $[-1;1]$. Имеем
$f'(t)=2-6t^2=6( frac{1}{3} -t^2), f'(t)=0$
$frac{1}{3} =x^2 \ x=pm frac{1}{ sqrt{3} }$
Вычислим значения функции в точке t
$f(frac{1}{ sqrt{3} })= frac{4 sqrt{3} }{9} ;,,,,,f(-frac{1}{ sqrt{3} })=- frac{4 sqrt{3} }{9};,,,,f(-1)=0;,,,,,f(1)=0$

Поэтому, $max_{[-1;1]}f(t)= frac{4 sqrt{3} }{9} ,,,,,,min_{[-1;1]}f(t)=-frac{4 sqrt{3} }{9}$

Что и требовалось доказать