Question

поогите решить 20-ое задание пожалуйста

Answer 1

Числитель: $log_{5^{-1}}(2x-1)^{-1}+log_{5}(2-x)=log_{5}(2x-1)+log_{5}(2-x)=log_{5}((2x-1)(2-x))=log_{5}(-2x^{2}+5x-2)$

Знаменатель: $log_{5}(2x-1)+log_{5^{-1}}(3-2x)^{-1}=log_{5}(2x-1)+log_{5}(3-2x)=log_{5}((2x-1)(3-2x))=log_{5}(-4x^{2}+8x-3)$

Дробь: $frac{log_{5}(-2x^{2}+5x-2)}{log_{5}(-4x^{2}+8x-3)} geq 0$
1) $left { {{log_{5}(-2x^{2}+5x-2) geq 0} atop {log_{5}(-4x^{2}+8x-3)>0}} right.$
$left { {{-2x^{2}+5x-2 geq 1} atop {-4x^{2}+8x-3>1}} right.$
$left { {{2x^{2}-5x+3 leq 0} atop {4x^{2}-8x+4<0}} right.$
$2x^{2}-5x+3 leq 0, D=25-4*2*3=1$
$x_{1}= frac{5-1}{4}=1$
$x_{2}= frac{5+1}{4}=frac{3}{2}=1.5$
$1 leq x leq 1.5$  - ответ

$4*(x^{2}-2x+1)<0$
$4*(x-1)^{2}<0$ - нет решений, т.к. квадрат числа всегда неотрицательный.

2) $left { {{log_{5}(-2x^{2}+5x-2) leq 0} atop {log_{5}(-4x^{2}+8x-3)<0}} right.$
$left { {{-2x^{2}+5x-2 leq 1} atop {-4x^{2}+8x-3<1}} right.$
$left { {{-2x^{2}+5x-3 leq 0} atop {-4x^{2}+8x-4<0}} right.$
$left { {{2x^{2}-5x+3 geq 0} atop {4x^{2}-8x+4>0}} right.$
x≤1, x≥1.5  - ответ

Объединяя решения, получим, что х - любое. НО необходимо учесть ОДЗ логарифмов:

$left { {{-2x^{2}+5x-2>0} atop {-4x^{2}+8x-3>0}} right.$
$left { {{2x^{2}-5x+2<0} atop {4x^{2}-8x+3<0}} right.$
$2x^{2}-5x+2<0, D=25-4*2*2=9$
$x_{1}= frac{5-3}{4}=frac{1}{2}$
$x_{2}= frac{5+3}{4}=2$
$frac{1}{2}<x<2$

$4x^{2}-8x+3<0, D=64-4*4*3=16$
$x_{3}= frac{8-4}{8}=frac{1}{2}$
$x_{4}= frac{8+4}{8}=frac{3}{2}$
$frac{1}{2}<x<frac{3}{2}$  - решение неравенства

Ответ: x∈(0.5; 1.5)

Answer 2

благодарю