Question

y=(x+2)^-3+1
Как определить промежутки знакопостоянства функции без графика?

Answer 1

y = (x + 2)⁻³ + 1 = [(x + 3)(x² + 3x + 3)] / (x + 2)³
Для нахождения промежутков знакопостоянства функции надо решить неравенства f (x) > 0; f (x) < 0.
1) Проверим условие: f (x) > 0
 [(x + 3)(x² + 3x + 3)] / (x + 2)³ > 0
Дробь больше нуля, когда числитель и знаменатель одного знака. 
a)  [(x + 3)(x² + 3x + 3)] > 0, x + 3 > 0, x > - 3
(x + 2)³ > 0, x > - 2
x∈(-2;+ ≈ )
b)  [(x + 3)(x² + 3x + 3)] < 0, x + 3 < 0, x < - 3
(x + 2)³ < 0, x < - 2
x∈(-≈ ; - 3)
 Таким образом f (x) > 0 при x∈(-2;+ ≈ ) и x∈(-≈ ; - 3)
2) Проверим условие:  f (x) < 0.
 [(x + 3)(x² + 3x + 3)] / (x + 2)³ < 0
Дробь меньше нуля, когда числитель и знаменатель разных знаков. 
a)  [(x + 3)(x² + 3x + 3)] > 0, x + 3 > 0, x > - 3
(x + 2)³ <  0, x< - 2
x∈(-3;- 2 )
b)  [(x + 3)(x² + 3x + 3)] < 0, x + 3 < 0, x < - 3
(x + 2)³ > 0, x >  - 2
решений нет
 Таким образом  f(x) < 0 при x∈(-3;- 2 )