Question

Задано функцию нескольких переменных $z=ln(x^2y)+y^3$

Найти:

1) $frac{d^2z}{dx^2} , frac{d^2z}{dxdy} , frac{d^2z}{dy^2}$

2) градиент функции z в точке $M_0(3;5)$

3) производную в точке $M_0(3;5)$ по направлению вектора $l(3;4)$

Только пожалуйста очень подробно

Answer 1

$z=ln(x^2y)+y^3; z limits'_x =frac {dz}{dx}=frac{1}{x^2y} *2xy+0=frac{2xy}{x^2y}=frac{2}{x};$

$z limits'_y =frac {dz}{dy}=frac{1}{x^2y} *x^2+3y^2=frac{x^2}{x^2y}+3y^2=frac{1}{y}+3y^2;$

$z limits''_x^2 =frac {d^2z}{d x^2}=(frac{2}{x})'_x=-frac{2}{x^2}; \ z limits''_y^2 =frac {d^2y}{d y^2}=((frac{1}{y})+3y^2)'_y=-frac{1}{y^2}+6y; \ z limits''_(xy) =frac {d^2y}{d x dy}=((frac{1}{y})+3y^2)'_x=0;$

(здесь вообще важно помнить о теореме Шварца)

 

 $grad z=(frac{dz}{dx};frac {dz}{dy});$

$grad z=(frac{2}{x};frac{1}{y}+3y^2); \ grad z(M)=(frac{2}{3}; frac{1}{5}+3*5^2)=(frac{2}{3}; 75.2)$

 

$frac{dz}{dl}=z'_x cosalpha+ z'_y cosbeta$

$|l|=sqrt{3^2+4^2}=5;\ cos alpha=frac{3}{5}=0.6;\ cos beta=frac{4}{5}=0.8;\ frac {dz}{dl}=frac{2}{3}*0.6+75.2*0.8=60.56$