Question

полное исследование функции (x-1)(x-2)/x

Answer 1

f(x) = (x - 1)*(x - 2) / x
Точки, в которых функция точно неопределена:x1 = 0
График функции пересекает ось X при f(x) = 0. значит надо решить уравнение:(x - 1)*(x - 2)/x = 0
 Точки пересечения с осью X: Численное решение x1 = 1. x2 = 2
Точки пересечения с осью координат Y График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в ((x - 1)*(x - 2))/x.-(-2) ------ 0 Результат: f(0) = zoo Точка:(0, ±oo)
График функции f(x) = ((x - 1)*(x - 2))/x:
x        -6      -5     -4       -3      -2 -1    0   1   2         3       4       5       6
y -9.333  -8.4  -7.5 -6.6667 -6   -6 нет 0   0  0.66667 1.5    2.4  3.333
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx -1 + x -3 + 2*x -2 + x 2*(-1 + x)*(-2 + x) 2 - ------ - -------- - ------ + ------------------- x x x 2 x ---------------------------------------------------- = 0 x Решаем это уравнение Решения не найдены, перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 0 Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo (x - 1)*(x - 2) lim --------------- = -oo x->-oo x значит,горизонтальной асимптоты слева не существует (x - 1)*(x - 2) lim --------------- = oo x->oo x значит,горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 1)*(x - 2))/x, делённой на x при x->+oo и x->-oo (x - 1)*(x - 2) lim --------------- = 1 x->-oo 2 x значит,уравнение наклонной асимптоты слева:y = x (x - 1)*(x - 2) lim --------------- = 1 x->oo 2 x значит,уравнение наклонной асимптоты справа:y = x -3 
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f(x) = f(-x) и f(x) = -f(-x).Итак, проверяем:(x - 1)*(x - 2) -(-1 - x)*(-2 - x) --------------- = ------------------- 1 1 x x - Нет(x - 1)*(x - 2) -(-1 - x)*(-2 - x) --------------- = - ------------------- 1 1 x x - Нет, значит, функция не является ни чётной ни нечётной.