Question

Прямая, параллельная основаниям ВС и АДтрапеции АВСД, пересекает боковые стороны АВ и СД в точках М и N. Диагонали АС и ВД пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны ОА и ОД треугольника АОД в точках К и L соответственно.

а)Докажите, что MK=NL
б)Найдите MN, если известно, что ВС=6, АД=9 и MK:KL= 1:2

Answer 1

Так как прямая МN||AД||ВС, то значит в треугольнике АВС она отсекает подобный треугольник АMK (согласно теореме: прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному). Значит АМ:АВ=МК:ВС.
Аналогично треугольник ДCB подобен треугольнику ДNL, значит ДN:ДС=LN:ВС.
Также по т.Фалеса пропорциональные отрезки возникают на боковых сторонах трапеции АМ:АВ=ДN:ДС
Следовательно МК:ВС=LN:ВС, а это значит МК=LN
2) т.к. МК:КL=1:2, КL=2МК, тогда МN=4МК.