Question

Упростите выражение:
$frac{ sqrt{2}+sqrt{3}+2}{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{6}+sqrt{8}+4}$

Источник: Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа, М., 1990, с. 59

...если это не затруднительно, то чем подробнее было бы расписано решение, тем лучше, извиняюсь...

Answer 1

$frac{ sqrt{2}+ sqrt{3}+2 }{sqrt{2}+ sqrt{3}+ sqrt{6} + sqrt{8} +4} = frac{ sqrt{2}+ sqrt{3}+2 }{(sqrt{2}+ sqrt{3}+2)+( sqrt{6} + sqrt{8} +2)} = \ frac{ sqrt{2}+ sqrt{3}+2 }{(sqrt{2}+ sqrt{3}+2)+ sqrt{2} ( sqrt{3} + sqrt{4} + sqrt{2} )} =frac{ sqrt{2}+ sqrt{3}+2 }{(sqrt{2}+ sqrt{3}+2)+ sqrt{2} ( sqrt{3} + 2 + sqrt{2} )} = \ frac{ sqrt{2}+ sqrt{3}+2 }{(sqrt{2}+ sqrt{3}+2) (1+ sqrt{2} )} =$

$frac{1}{1+ sqrt{2} } = frac{1- sqrt{2} }{(1+ sqrt{2})(1- sqrt{2} ) } = frac{1- sqrt{2} }{1-2} = frac{1- sqrt{2} }{-1} = sqrt{2}-1$

Answer 2

...великолепно! огромное спасибо! (там 4 звёздочки я решению поставил, а не 5, так это по ошибке, случайно кликнулось, а исправить уже нельзя, но решение, конечно, на 5 звёзд, тут двух мнений быть не может(!))...

Answer 3

Спасибо.

Answer 4

----------------------------------------------

Answer 5

... а я по недоразумению пытался умножать на "корень из 2 + корень из 3 + 2"... вот, что больше всего мне нравится в этих решениях, так это когда двойка представляется как произведение двух корней из 2, додуматься до такого нюанса не хватило у меня остроты математического ума, и тут (особенно это рельефно показано в первом решении) возникает такой эффект-

Answer 6

[эффект] - кажется вот вроде бы решение: 2 = два корня из 2, значит один корень можно вынести за скобки, но ведь останеться не 2, а корень из 2, а в первой сумме к двум корням прибавляется просто двойка, казалось бы всё, тупик, ан нет: корень из 8 можно выразить как произведение корня из 2 (который выносится) на корень из 4, а корень из 4 как раз равняется 2 (!) и получается ровно такое же варажение, как и первое (корень из 2 + корень из 3 + 2), в этом для меня и заключается красота решения

Answer 7

[красота решения] (конечно, при хорошо развитых алгебраических навыках на это, вероятно, и не обращается внимание, но для меня это потребовала дополнительного "думанья"), и эта красота решения вполне достойна, на мой взгляд, называться искусством, и если бы существовал музей математических искусств, то этот пример с решением я бы в него поместил ...

Answer 8

...субъективно, на мой взгляд, первое решение, немного кажется "по-красивше" (возможно из-за отсутствия дроби в знаменателе), но во втором - показан очень полезный метод...

Answer 9

... то-есть, извиняюсь, метод, которым, я ещё не решал примеров, очень он пригодится, спасибо!