Question

В выпуклом четырёхугольнике abcd диагонали ac и bd пересекаются под углом 55 градусов Центр вписанной в треугольник bcd окружности лежит на AC. Найдите
величину угла cdb если AB=AD и угол BAD=110 градусам.
Заранее спасибо, только мне не нужно решать эту задачу. Только объясните, пожалуйста, почему окружность можно описать около АBСD.(Учитывая, что AC-биссектриса).

Answer 1

Есть теорема: Если суммы противоположных углов четырехугольника равны 180°, то вокруг него можно описать окружность. 

Без решения объяснить, что здесь суммы противоположных углов равны 180°,  вряд ли получится. 

Сделаем рисунок. 

Обозначим точку пересечения диагоналей четырехугольника Т. 

Треугольник АВД равнобедренный по условию. Угол А=110° следовательно, углы АВД и ВДА=по 35° Продолжим АД по обе стороны от АД. 

Угол СДЕ - внешний и равен сумме углов треугольника АТД, не смежных с ним. 

∠АТД+∠ТАД=145°

∠АТД=55°по условию

∠ТАД= 145°-55°=90°

Продлим СВ до пересечения в точке К с продолжением АД 

Так как в треугольник ВСД вписана окружность, а ее центр лежит на диагонали АС, то  эта диагональ  - биссектриса угла КСД (по свойству окружности, вписанной в угол.) 

Угол САД прямой, СА - перпендикулярна КД, следовательно,   АС не только биссектриса, но и высота, а, значит,  и медиана. Треугольник КСД - равнобедренный и угол СКД=углу СДК и КА=АД.

 Но ВА  также равна  АД. 

След. АК=АВ и треугольник ВАК - ранобедренный. 

∠ ВАК=180°-∠ ВАД=180°-110°=70°

Угол СКА равен полусумме углов при ВК и равен (180°-70°):2=55°.

∠ СДА=∠СКА=55°

Сумма углов треугольника 180°

∠ КСД равен 180°-2*55°=70°

Сумма углов ВАД и ВСД=110°+70°=180°

Сумма углов четырехугольника равна 360°

Сумма углов СВА+СДА=360°-180°=180°

Вокруг данного четырехугольника можно описать окружность. 

Answer 2

Может и угол ВТА быть 55 градусов. Тогда рисунок будет таким же, только в зеркальном отображении. И решение, соответственно, будет тем же. Вопрос - объяснить, почему вокруг данного четырехугольника можно описать окружность, что и постаралась сделать. Допускаю, что есть более короткий вариант решения.

Answer 3

Всё понятно. Получается, что описанная окружность для решения этой задачи совсем не нужна. Большое спасибо за помощь!)

Answer 4

Т.к. может быть 2 варианта угла (между диагоналями), и получается 2 ответа. Решение длинное, но очень понятное.

Answer 5

Для того и длинное, чтобы было понятным.)

Answer 6

До окружности, когда противоположные углы сразу не дают в сумме 180, на любом испытании, с адреналином в крови, может один на сто тысяч участников и додумается ))