Question

Решить систему уравнений : {x*sqrt(y)+y*sqrt(x)=30, x*sqrt(x)+y*sqrt(y)=35}

Answer 1

$left { {{x sqrt{y}+y sqrt{x} =30 } atop {x sqrt{x} +y sqrt{y} =35}} right.$
Отметим ОДЗ
$left { {{x geq 0} atop {y geq 0}} right.$
Произведем замену: пусть $sqrt{x} =b, sqrt{y} =a$
$left { {{b^2a+a^2b=30} atop {a^3+b^3=35}} right.$
__________________________________________________________
Выносим общий множитель(и решим до конца)
$left { {{ab(a+b)=30} atop {(a^2-ab+b^2)(a+b)=35}} right. to left { {{7ab(a+b)-6(a^2-ab+b^2)(a+b)=7cdot30-6cdot35} atop {(a^2-ab+b^2)(a+b)=35}} right.$
$left { {{(7ab-6(a^2-ab+b^2))(a+b)=0} atop {(a^2-ab+b^2)(a+b)=35}} right.$
Следующая система эквивалентна предыдущей. так как $a+b neq 0$
$left { {{7ab-6(a^2-ab+b^2)=0} atop {(a^2-ab+b^2)(a+b)=35}} right.$
_____________________________________________________________

-----------------------------------------------------------------------------------------------
Преобразуем первое уравнение:
$7ab-6(a^2-ab+b^2)=0 \ 7ab-6a^2+6ab-6b^2=0 \ -6a^2+13ab-6b^2=0$
Разложим одночлены в сумму нескольких
$-6a^2+4ab+9ab-6b^2=0 \ -2a(3a-2b)+3b(3a-2b)=0 \ (3a-2b)(3b-2a)=0$
-----------------------------------------------------------------------------------------------
В итоге получаем систему $left { {{(3a-2b)(3b-2a)=0} atop {a^3+b^3=35}} right.$
Решаем систему
$left { {{ left[begin{array}{ccc}3a-2b=0\3b-2a=0end{array}right} atop {a^3+b^3=0}} right.$
Решим отдельно
Первая система уравнения $left { {{3a-2b=0} atop {a^3+b^3=0}} right.$
Из уравнения 1 выразим переменную а: $a= frac{2b}{3}$
$b^3+( frac{2b}{3})^3=35 \ frac{35}{27} b^3=35 \ b^3=27 \ b_1=3 \ a_1=2$
Вторая система уравнения: $left { {{3b-2a=0} atop {b^3+a^3=35}} right.$
Из уравнения 1 выразим переменную а: $a= frac{3b}{2}$
$b^3+( frac{3b}{2} )^3=35 \ frac{35}{8} b^3=35 \ b^3=8 \ b_2=2 \ a_2=3$

        ________         _______           ________             _____          _____
Возвращаемся к замене

$left { {{ sqrt{x}=2} atop { sqrt{y}=3 }} right. ,,,,,,,,and,,,,,,,, left { {{ sqrt{x}=3 } atop { sqrt{y} }=2} right. \ \ left { {{x_1=4} atop {y_1=9}} right. ,,,,,,,, and,,,,,,,, left { {{x_2=9} atop {y_2=4}} right.$



Ответ: $(4;9),,(9;4).$