Question

Решить уравнения:

√' - корень
^x - степень
_16_ - основание

√x+2'=2+√x-6'

3*25^x-14*5^x-5=0

log_16_x+log_8_x+log_2_x=19/12

Answer 1

$sqrt{x+2}=2+ sqrt{x-6}$
Отметим ОДЗ:
$left { {{x-6 geq 0} atop {x+2 geq 0}} right. to left { {{x geq 6} atop {x geq -2}} right. to x geq 6$
Возведем оба части до квадрата
$(sqrt{x+2})^2=(2+ sqrt{x-6})^2 \ x+2=4+4 sqrt{x-6}+x-6 \ 4 sqrt{x-6}=4|:4 \ sqrt{x-6}=1 \ x-6=1 \ x=7$
Произведем проверку ОДЗ:
$left { {{x=7} atop {7 geq 6}} right.$ - удовлетворяет ОДЗ

Ответ: $7$

$3cdot 25^x-14cdot5^x-5=0 \ 3cdot5^{2x}-14cdot5^x-5=0$
Произведем замену: Пусть $5^x=t,,(t geq 0),$ получаем
$3t^2-14t-5=0 \ D=b^2-4ac=196+60=256; sqrt{D} =16 \ t_1=5 \ t_2=- frac{1}{2}$
Корень t=-1/2 - не удовлетворяет ОДЗ
Возвращаемся к замене
$5^x=5 \ x=1$

Ответ: $1$

$log_{16}x+log_8x+log_2x= frac{19}{12}$
Перейдем к новому основанию
$frac{log_2x}{log_216} + frac{log_2x}{log_28}+log_2x=frac{19}{12} \ \ frac{log_2x}{4} + frac{log_2x}{3}+log_2x=frac{19}{12}|cdot 12 \ 3log_2x+4log_2x+12log_2x=19 \ 19log_2x=19|:19 \ log_2x=1 \ log_2x=log_22 \ x=2$

Ответ: $2$