Question

№ 58 пожалуйста помогите решить

Answer 1

$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1) \ 2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2-13(x^3-1)=0$
Проверим отдельные случаи.
В первом случае пусть х = 0.
$2(0^2+0+1)^2-7(0-1)^2-13(0^3-1)=0 \ 8=0$
Видим что решений нет.
Во втором случаем если x≠0, имеем:
Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой
$(a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+... frac{n(n-1)..(n-k+1)}{1cdot2...k} a^{n-k}b^k+...nab^{n-1}+b^n$
В итоге получаем
$2(x^4+2x^3+3x^2+2x+1)-7(x^2-2x+1)-13(x^3-1)=0 \ 2x^4+4x^3+6x^2+4x+2-7x^2+14x-7-13x^3+13=0 \ 2x^4-9x^3-x^2+18x+8=0|:x^2 \ 2(x^2+ frac{4}{x^2})-9(x- frac{2}{x} )-1=0$
Пусть $x- frac{2}{x} =t,$ тогда имеем:
$2(t^2+4)-9t-1=0 \ 2t^2-9t+7=0$
  Находим дискриминант
$D=b^2-4ac=(-9)^2-4cdot2cdot7=25; \ t_1=1 \ t_2=3.5$
Возвращаемся к замене
$x- frac{2}{x} =1|cdot x \ x^2-x-2=0$
  По т. Виета
$left { {{x_1+x_2=1} atop {x_1cdot x_2=-2}} right. to left { {{x_1=-1} atop {x_2=2}} right.$

$x- frac{2}{x} =3.5|cdot x \ x^2-3.5x-2=0$
Опять же по т. Виета
$left { {{x_1+x_2=3.5} atop {x_1cdot x_2=-2}} right. to left { {{x_1=-0.5} atop {x_2=4}} right.$

Произведение рациональных корней: $-1cdot(-0.5)cdot2cdot4=4$

Ответ: $4$