Question

Помогите Пожалуйста,голова идет кругом. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлет­воряющие данным условиям:
(xy^2+y^2)dx+(x^2-x^2y)dy=0,y=1 при x=1.

Answer 1

Это уравнение с разделяющимися переменными.
Надо записать его так:
y²(х+1)dx=-х²(1-y)dy
или
y²(х+1)dx=х²(y-1)dy
и разделить переменные:
$frac{x+1}{ x^{2} }dx = frac{y-1}{y ^{2} }dy$
Интегрируем
$intlimits { frac{x+1}{ x^{2} } , dx = intlimits { frac{y-1}{y ^{2} }}} , dy$
Упрощаем подынтегральные выражения
$intlimits { (frac{x}{ x^{2} }+ frac{1}{ x^{2} }) , dx = intlimits ({ frac{y}{y ^{2} }- frac{1}{y ^{2} } }}) , dy \ intlimits { (frac{1}{ x} }+ frac{1}{ x^{2} }) , dx = intlimits { (frac{1}{y }- frac{1}{y ^{2} } }}) , dy$
Находим интегралы по таблице интегралов:
$ln |x| - frac{1}{x}=ln|y|+ frac{1}{y}+ C$-
общее решение дифференциального уравнения

при х=1 у=1
$ln |1| - frac{1}{1}=ln|1|+ frac{1}{1}+ CRightarrow C=-2$
тогда
$ln |x| - frac{1}{x}=ln|y|+ frac{1}{y}-2$-
частное решение дифференциального уравнения при х=1 у=1