Question

Помогите разобраться с тригонометрическим уравнением вида 4cos4x+6sin^2(2x)+5cos2x и найти все корни на промежутке от -п/2 до 2п/3 (концы включаем) Заранее спасибо.

Answer 1

4cos4x+6sin²2x+5cos2x=0
4(2cos²2x-1)+6·(1-cos²2x)+5cos2x=0
2cos²2x+5cos2x=2=0
D=25-4·2·2=9=3²
cos2x=(-5-3)/4      или     сos 2x=(-5+3)/4
cos2x= -2             или     сos 2x=-1/2
уравнение не                   2х = ±arccos(-1/2)+2πk, k ∈ Z
имеет решений                2x = ±(π - arccos1/2)+2πk, k ∈ Z
                                       2x= ± (π - (π/3)+2πk, k ∈ Z
                                       2x= ± (2π/3)+2πk, k ∈ Z
                                        x= ± (π/3)+πk, k ∈ Z

[-π/2]-----[-π/3]-----------(0)----------[π/3]--------------[2π/3]

Первая серия ответов
π/3+πk, k∈Z 
Указанному отрезку принадлежит одна точка х=π/3
Вторая серия ответов
-π/3 +πk, k∈Z
Указанному отрезку принадлежат две точки
х=-π/3      и    х=-π/3 + π=2π/3
Ответ. -π/3 ; π/3 ; 2π/3

Answer 2

cos4x=2(cos2x)^2-1; (sin2x)^2=1-(cos2x)^2⇒
4*(2(cos2x)^2-1)+6*(1-(cos2x)^2)+5cos2x=0⇒
8(cos2x)^2-4+6-6(cos2x)^2+5cos2x=0⇒
2(cos2x)^2+5cos2x+2=0
Замена: cos2x=t⇒2t^2+5t+2=0
D=5^2-4*2*2=25-16=9; √D=3
t1=(-5+3)/4=-1/2
t2=(-5-3)/4=-2
cos2x=-2 - решений нет
cos2x=-1/2⇒2x=+(-)2π/3+2πn⇒x=+(-)π/3+πn
n=0⇒x1=π/3∈[-π/2;2π3]; x2=-π/3∈[-π/2;2π3]
n=1⇒x3=4π/3∉[-π/2;2π3]; x4=2π/3∈[-π/2;2π3]
n=-1⇒x5=-2π/3∉[-π/2;2π3]; x6=-4π/3∉[-π/2;2π3]
Ответ: x1=π/3∈[-π/2;2π3]; x2=-π/3∈[-π/2;2π3]; x3=2π/3∈[-π/2;2π3]