Question

Довести, что $m^{5} n-m n^{5}$ делится на 6 при любых натуральных значениях $m, n$ и $m>n$

Answer 1

Теперь разберемся с делением на три. Если хоть одно из чисел кратно 3, то есть m=3k, то конечно все выражение делится на 3. Если оба числа имеют одинаковый остаток от деления на три: остаток равен одному, тогда m=3l+1, n=3p+1, остаток равен двум: m=3f+2, n=3g+2, то в скобке (m-n) получим либо 3*(l-p), либо 3*(f-g), и так как теперь в выражении есть множитель 3 значит все выражение делится на три. Если одно число после деления на три имеет в остатке один, а другая два, то рассмотрим скобку (m+n)=(3l+1+3g+2)=3(l+g+1), видим, что опять естб множитель три, а значит и все выражение делится на три. Мы показали, что выражение делится на два, и делится на три, значит выражение делится на 6.