Question

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Answer 1

В треугольниках AED и BEC проведём высоты EM и EN соответственно. Тогда сумма площадей этих треугольников равна 1/2*AD*EM+1/2*BC*EN. Площадь параллелограмма равна AD*BH, где BH - высота параллелограмма. Докажем. что EM+EN=BH. Точки M,E,N лежат на одной прямой, так как высоты EM, EN проведены к параллельным прямым из одной точки. Четырехугольник BHMN является прямоугольником, так как все его углы прямые. Тогда BH=MN=EM+EN. Значит, 1/2*AD*EM+1/2*BC*EN=1/2*AD*EM+1/2*AD*EN=1/2*AD*BH, так как AD=BC (противоположные стороны параллелограмма равны) и сумма площадей треугольников равна половине площади параллелограмма, что и требовалось.