Question

Около треугольника ABC со сторонами AC=5, BC=7 описана окружность. Сторона BC делит диаметр окружности, перпендикулярный ей, на отрезки, длины которых относятся как 3:2. Найдите сторону AB треугольника.

Answer 1

Пусть MN - диаметр, перпендикулярный стороне BC. BC∧MN=O
A∉ диаметру
Диаметр, перпен хорде делит ее пополам⇒BO=OC=7/2
Соединим вершину B с концами диаметра MN
Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой⇒тр-ник MBN - прямоугольный.
 Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, является средне пропорциональным между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу
BO средне пропорц между MO и ON⇒BO^2=MO*ON
MO:ON=2:3⇒MO=2x; ON=3x⇒
2x*3x=(7/2)^2⇒6x^2=49/4⇒x^2=49/24⇒x=7/2√6⇒MN=5x=35/2√6
R - радиус окружности⇒2R=35/2√6
Применим теорему синусов:
AC/sinB=BC/sinA=AB/sinC=2R⇒AB=2R*sinC
Чтобы найти AB, нужно найти sinC
sinC=sin(180-(A+B))=sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB
BC/sinA=2R⇒sinA=BC/2R=7:(35/2√6)=(7*2√6)/35=2√6/5
sinA=2√6/5⇒cos^2(A)=1-sin^2(A)=1-24/25=1/25⇒cosA=1/5
AC/sinB=2R⇒sinB=AC/2R=5:(35/2√6)=(5*2√6)/35=2√6/7
sinB=2√6/7⇒cos^2(B)=1-sin^2(B)=1-24/49=25/49⇒cosB=5/7
sinC=sinA*cosB+cosA*sinB=2√6/5*5/7+1/5*2√6/7=(10√6+2√6)/35⇒
sinC=12√6/35⇒
AB=35/2√6*12√6/35=12/2=6
Ответ: AB=6

Answer 2

По-моему здесь это роли не играет. Как начинаем строить чертеж? Строим окружность. Проводим какой-нибудь диаметр. Отмечаем точку на нем, которая делит его в отношении 2:3 или 3:2. Проводим хорду BC перпенд этому диаметру. A затем отмечаем где-нибудь на окружности точку A, только не на диаметре, так как тр-ник не равнобедренный. А дальше все как написано

Answer 3

Просто при одном и том же расположении хорды ВС, точку А можно поставить как слева(как у Вас), так и справа от хорды. К тому же в задачнике указано два ответа.

Answer 4

Тогда AB можно найти по теореме косинусов
BC^2= AB^2+AC^2-2AB*AC*cosA
В одном случае угол A будет тупой, а в другом - острый, то есть cosA=1/5 в одном случае и cosA=-1/5 в другом случае. Получаем 2 уравнения
1) AB^2-2AB*5*1/5+25-49=0

Answer 5

AB^2-2AB-24=0; AB=6
2)AB^2+2AB-24=0; AB=4

Answer 6

Спасибо большое