Question

Докажите, что если a²+b²+c²=1, то -1/2≤a+b+c≤1

Answer 1

это оценка грубая,на самом деле 
$a^2+b^2+c^2=1$ 
представим  $frac{ (a^2+b^2)+(b^2+c^2) + (a^2+c^2) }{2}=1$ 
так как $a^2+b^2 geq 2ab\ b^2+c^2 geq 2bc\ a^2+c^2 geq 2ac$ 
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-(2ab+2ac+2bc)$ 
 откуда $ab+bc+ac leq 1 \ (a+b+c)^2 leq 1+2*1\ a+b+c leq sqrt{3}$ 
а минимальное  $-sqrt{2}$  то есть 
 $-sqrt{2} leq a+b+c leq sqrt{3}$   которая лучше оценки 
 $-frac{1}{2} leq a+b+c leq 1$