Question

Пусть плоскость a проходит через три несовпадающие с началом координат точки A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c), (лежащие соответственно на осях OX, OY и OZ). Докажите, что 1/p^2 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 , где p – расстояние от точки O до плоскости a
остальные задания смотрите у меня в профиле, за каждое 50 баллов.

Answer 1

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

$left|begin{array}{ccc}x-x_0&y-y_0&z-z_0\x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\x_2-x_0&y_2-y_0&z_2-z_0end{array}right| =0$

Уравнение плоскости, проходящей через точки А(а,0,0),  В(0,b,0),  C(0,0,c) :

$left|begin{array}{ccc}x-a&y&z\-a&b&0\-a&0&cend{array}right| =0\\\bc(x-a)+accdot y+abcdot z=0\\bccdot x+accdot y+abcdot z-abc=0; ; Rightarrow ; ; overline {n}=(bc,ac,ab)\\|overline {n}|=sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}\\tochka; O(0,0,0)\\p=d(O, alpha )=frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{|overline {n}|}=frac{|bccdot 0+accdot 0+abcdot 0-abc|}{sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}=frac{abc}{sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}$

$frac{1}{p^2}=frac{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}=frac{b^2c^2}{a^2b^2c^2}+frac{a^2c^2}{a^2b^2c^2}+frac{a^2b^2}{a^2b^2c^2}=frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2}+frac{1}{c^2}$