Question

Найти такие натуральные значения a, b, c, d,x,y, чтобы выполнялись следующие равенства a+b=c+d, x^2=a*c, y^2=b*d

Answer 1

   
 $a+b=c+d\ x^2=ac\ y^2=bd\\ frac{(b+d)^2-(b-d)^2}{4}=y^2\ frac{(a+c)^2-(a-c)^2}{4}=x^2$ 
 Представим их так , тогда 
 $frac{(b+d)^2-(c-a)^2}{4}=y^2\ frac{(a+c)^2-(a-c)^2}{4}=x^2$ 
   используя равенство $a+b=c+d$ и вычтим одно от другого  , получим 
 $(b+d)^2-(a+c)^2=4y^2-4x^2\ (b+d-a-c)(b+d+a+c)=(2y-2x)(2y+2x)$  
 $(b+d-a-c)(b+d+a+c)=(2y-2x)(2y+2x)\ 2y=b+d\ 2x=a+c\\ 2sqrt{bd}=b+d\ 2sqrt{ac}=a+c$ 
 используя равенство 
 $a^2+b^2 geq 2ab\\ 2sqrt{bd}=b+d\ 2sqrt{ac}=a+c\\ \ 4bd=b^2+2bd+d^2\ 4ac=a^2+2ac+c^2\ b^2+d^2-2bd=0\ a^2+c^2-2ac=0\\ b=d\ a=c$ 
 то есть числа $b=d\ a=c\\ x=a\ y=b$