Question

№2 Исследовать функцию и построить график
У=1/3 х^3-2х^2+3х+1

Answer 1

Исследовать функцию и построить график: $y= frac{1}{3} x^3-2x^2+3x+1$
Область определения: множество всех действительных чисел D(y)=R

Точки пересечения с осью Ох и Оу:

1.1 Точки пересечения с осью Ох

$frac{1}{3} x^3-2x^2+3x+1=0|cdot 3 \ x^3-6x^2+9x+3=0$
По формуле Кардано:
$x= frac{4+ sqrt{-20+4 sqrt{21} }+ sqrt{-20-4 sqrt{21} } }{2}$

$(frac{4+ sqrt{-20+4 sqrt{21} }+ sqrt{-20-4 sqrt{21} } }{2} ;0)$ - точки пересечения с осью Ох

1.2 Точки пересечения с осью Оу (х=0):

$x=0; \ y=frac{1}{3} cdot0^3-2cdot0^2+3cdot0+1=1$

$(0;1)$ - Точки пересечения с осью Оу.

Возрастания и убывания функции(критические точки):
Первая производная: $y'=( frac{1}{3} x^3)'-(2x^2)'+(3x)'+(1)'=x^2-4x+3$
Приравняем производную функцию к нулю, чтобы найти критические точки......................
$y'=0 \ x^2-4x+3=0$

По т. Виета
$left { {{x_1+x_2=4} atop {x_1cdot x_2=3}} right. to left { {{x_1=1} atop {x_2=3}} right.$

___+___(1)_____-_____(3)___+___>
возр                убыв                возр

Итак, функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(3;+∞), а убывает на промежутке - (1;3). В точке х = 1, функция имеет локальный максимум, а в точке х = 3 - локальный минимум.

Возможные точки перегиба:
Вторая производная: $y''=(x^2-4x+3)'=2x-4$
Вторую производную приравняем к нулю
$y''=0 \ 2x-4=0 \ x=2$ - Точка перегиба

Вертикальные асимптоты: нет.
Горизонтальные асимптоты: нет.
Наклонные асимптоты: нет.

Соостветвенно анализу графика построим график.(Смотреть во вложении)