Question

Остаток от деления
Найдите остаток при делении числа
$frac{ 2^{2007}-2 }{ 2^{2}-1 } + frac{ 3^{2007}-3}{ 3^{2}-1 }+...+ frac{ 53^{2007}-53}{ 53^{2}-1 }$
на 1431.

Answer 1

$frac{2^{2007}-2}{2^2-1} + frac{3^{2007}-3}{3^2-1} + ...+ frac{53^{2007}-53}{53^2-1} = \ 1431=27*53$ 
вся задача сводится к отдельным суммам разных геометрических прогрессий .$[tex]frac{2((2^2)^{1003}-1)}{2^2-1} = 2(2+2^3+2^5+2^7+...+2^{2005})+$+$(3+3^3+3^5+3^7+...+3^{2005})...+..(53+53^3+53^5+53^7+...+53^{2005})$итд 
  теперь заметим что сумма чисел равных степеней  при делений на $1431$ дают один и тот же остаток равный $1430$
$2+3+4+5+6+...+53=1430$ остаток равен $1430$ так ка 
 $1430<1430$

$2^2+3^2+4^2+5^2+...+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\ n=53\\ 2^3+3^3+4^3+5^3+...+n^3=$ и каждый раз оно будет отличатся на множитель 
то есть получим что остаток равен 
 $1430*2005$