Question

Остаток сумм
Пусть $a_{n}$ – остаток от деления $(n+1)^{3}$ на $n^{3}$. Найдите остаток при делении числа $a_{1} + a_{2} + ... + a_{4002}$ на 4000.

Answer 1

 
 $frac{(n+1)^3}{n^3}=1+frac{3}{n}+frac{3}{n^2}+frac{1}{n^3}\ a_{1}=frac{2^3}{1}=1+frac{3}{1}+frac{3}{1^2}+frac{1}{1}\ a_{2}=frac{3^3}{2^3}=1+frac{3}{2}+frac{3}{2^2}+frac{1}{2^3}\ a_{3}=frac{4^3}{3^3}=1+frac{3}{3}+frac{3}{3^2}+frac{1}{3^3}\ a_{4}=frac{5^3}{4^3}=1+frac{3}{4}+frac{3}{4^2}+frac{1}{4^3}\ ...\ a_{4002}=1+frac{3}{4002}+frac{3}{4002^2}+frac{1}{4002^3} \\ frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{4002}}{4000}=\ frac{2+3(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}..+..frac{1}{4002})..}{4000}$ 
так как $1+frac{1}{2} + frac{1}{3}+frac{1}{4}...+...frac{1}{4002}<10$ это оценка позволяет осознать то что  $10<4000$, так же с 
  так ка $frac{1}{n}>frac{1}{n^2}$ то 
 следующая сумма дробкей так же меньше $S<10$
 $frac{1}{1^3}+frac{1}{2^3}+frac{1}{3^3}+frac{1}{4^3}...+...frac{1}{4002^3}$
 
 то есть остаток равен 
 $2+3(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}...+...frac{1}{4002})$ +  $3(1+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+frac{1}{4^2}...+...frac{1}{4002^2})$+  $frac{1}{1^3}+frac{1}{2^3}+frac{1}{3^3}+frac{1}{4^3}...+...frac{1}{4002^3}$