Question

В треугольнике abc высоты aa1 и cc1 пересекаются в точке h, лежащей внутри треугольника. h- серидина AA1, а CH относится к HC1 как 2:1. Чему равен угол B?

Answer 1

Для больше наглядности вершины тр-ка отметим так:
внизу слева направо точки B и C, а вверху - A.
AA1 перпенд BC; СС1 перпенд AB; H - точка пересечения высот.
Треугольники AC1H и HA1C - прямоугольные. У них при вершине H углы равны, как вертикальные. Значит эти прямоугольные треугольники подобны по равному острому углу.
Введем обозначения угол AHC1=углу A1HC=α. Тогда угол C1AH=равен
углу A1CH=β.
По условию AH=HA1. Пусть AH=HA1=x
CH:HC1=2:1. Пусть HC1=y, тогда CH=2y
Из подобия тр-ков запишем пропорциональность соответственных сторон:
Соответственные стороны - это стороны, лежащие напротив равных углов
AH:HC=C1H:A1H⇒x:2y=y:x⇒x^2=2y^2⇒x=y√2⇒AH=A1H=y√2
Рассмотрим прямоугольный тр-ник  HA1C:
A1C^2=CH^2-A1H^2=(2y)^2-x^2=4y^2-2y^2=2y^2
Итак, A1C^2=2y^2⇒A1C=y√2⇒A1H=A1C=y√2, т.е. тр-ник  HA1C - равнобедренный⇒угол HCA1 или угол C1CB равен 45 градусов⇒
угол B равен 90 минус угол C1CB; угол B=90-45=45 градусов
Ответ: 45