Question

Пожалуйста, максимально подробно объясните как исследовать функцию на монотонность

Answer 1

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную нулю и найти критические точки.
3. Полученные точки образуют интервалы. Вычисляем знак производной на каждом интервале. Если на всё интервале производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна - убывает.

Пример:
Исследовать интервалы монотонности функции $f(x)=x^3-4x^2-16x+17$
$f'(x)=3x^2-8x-16\3x^2-8x-16=0\D=64+4cdot3cdot16=256=(16)^2\x_{1,2}=frac{8pm16}6\x_1=-1frac13,;x_2=4$
Получаем 3 интервала: $left(-infty;;-1frac13right),;left(-1frac13;;4right);u;(4;;+infty)$
Подставляем по одному "иксу" из каждого интервала и находим знак производной.
$x=-2Rightarrow f'(x)=3cdot(-2)^2-8cdot(-2)-16=12+16-16=12>0\x=0Rightarrow f'(x)=-16<0\x=3Rightarrow f'(x)=3cdot5^2-8cdot5-16=75-40-16=19>0$
Функция возрастает при $xin(-infty;;-1frac13)cup(4;;+infty)$ и убывает при $xinleft(-1frac13;;4right)$

Answer 2

спасибо) А можете объяснить, что значит найти производную функции?

Answer 3

А вот это уже в учебниках смотрите.