Question

Помогите решить систему никак не могу "доехать"
Даю много баллов
$left { {{5^x*2^y=20} atop {5^y*2^x=50}} right. \ 10^{x-y}<2 \ 10^{x-y}<2$ тоже относиться к системе

Answer 1

5^x 2^y = 20
5^y 2^x = 50
lg(5^x 2^y)=lg20
lg(5^x)+lg (2^y)=1+lg2
lg(5^y)+lg (2^x)=1+lg5
xlg5+ylg2=1+lg2
ylg5+xlg2=1+lg5
lg2(xlg5+ylg2)-lg5(ylg5+xlg2)=lg2(1+lg2)-lg5(1+lg5)
y(lg²2-lg²5)=lg2(1+lg2)-lg5(1+lg5)
y=(lg2(1+lg2)-lg5(1+lg5))/(lg²2-lg²5)
Тем же методом можно вычислить и x:
lg5(xlg5+ylg2)-lg2(ylg5+xlg2)=lg5(1+lg2)-lg2(1+lg5)
x(lg²5-lg²2)=lg5(1+lg2)-lg2(1+lg5)
x=(lg5(1+lg2)-lg2(1+lg5))/(lg²5-lg²2)
10^(x-y)<2
x-y=(lg5(1+lg2)-lg2(1+lg5))/(lg²5-lg²2)-(lg2(1+lg2)-lg5(1+lg5))/(lg²2-lg²5)=
(lg5(1+lg2)-lg2(1+lg5))/(lg²5-lg²2)+(lg2(1+lg2)-lg5(1+lg5))/(lg²5-lg²2)=
(lg5(1+lg2)-lg2(1+lg5)+lg2(1+lg2)-lg5(1+lg5))/(lg²5-lg²2)=lg²2-lg²5
10^(lg²2-lg²5)=(10^(lg2+lg5))^(lg2-lg5)=(10^lg10)^(lg2-lg5)=1^(lg2-lg5)=1
Отв:
x=(lg5(1+lg2)-lg2(1+lg5))/(lg²5-lg²2)
y=(lg2(1+lg2)-lg5(1+lg5))/(lg²2-lg²5)