Question

Решите неравенство arccosx > arctgx

Answer 1

Область определения неравенства - отрезок [-1, 1]

Неравенство заведомо выполняется, если x < 0 (т.к. арккосинус принимает только значения из промежутка (pi/2, pi], а тангенс отрицателен)

Остаются только x из отрезка [0, 1].
Применим к обеим частям неравенства sin (обе части гарантированно лежат в промежутке [0, pi/2], на котором функция синус растет. Поэтому большим значениям аргумента синуса соответствуют большие значения, и знак менять не надо)

sin(arccos x) = sqrt(1 - x^2)
sin(arctg x) = x / sqrt(1 + x^2)

(Обе формулы получаются путем применения основного тригонометрического тождества - первая как решение задачи "найдите sin(alpha), если cos(alpha)=x и 0<=alpha<=pi/2", а вторая - "найдите sin(alpha), если tg(alpha)=x и 0<=alpha<=pi/2")

sqrt(1 - x^2) > x / sqrt(1 + x^2) -- можно домножить на положительный знаменатель
sqrt(1 - x^4) > x -- возводим в квадрат. Обе части положительны, равносильность не нарушается
1 - x^4 > x^2
Замена: x^2 = t; 0 <= t <= 1
1 - t^2 > t
t^2 + t - 1 < 0
0 <= t <= (sqrt(5) - 1)/2
0 <= x <= sqrt((sqrt(5) - 1)/2)

Учитывая полученный ранее отрезок [-1, 0), получаем
Ответ. 
$-1 leqslant xleqslant sqrt{dfrac{sqrt5 - 1}2}$